SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

A.   Perbedaan PLSV, PLDV dan SPLDV

      Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.

Bentuk umum PLSV, yaitu : ax + c1 = c2 dengan

Contoh : 

1) x + 2 = 5

2) 2m – 3 = 7

3) 4n = 8

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua variabel, dimana masing-masing variabelnya berpangkat satu.

Bentuk umum PLDV, yaitu : ax + by = c dengan

Contoh : 

1) x + 3y = -2

2) 3a – 2b = 4

3) 2p + q – 6 = 0

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah gabungan dari dua buah atau lebih PLDV yang membentuk satu kesatuan.

Bentuk umum SPLDV, yaitu : a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2

Contoh :  

1) x - 3y = 5 dan 2x + 5y + 21

2) a + 2b = 9 dan 3b – a = 11

3) 6p = 2 – q dan 3p – 2q -11 = 0

Keterangan : 

x dan y               =    variabel

a, a1 dan a2     =    koefisien (nilai di depan) variabel x

b, b1 dan b2     =    koefisien (nilai di depan) variabel y

c, c1 dan c2       =    konstanta

B.    Metode Penyelesaian SPLDV

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

4x + y = 2 dan x – 2y = 5

Adapun metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan 3 metode, yaitu :
1) Subtitusi
Merupakan penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain.
Langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu :

a.     Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ...

x – 2y =  5

x           =  2y + 5

b.      Subtitusikan ke persamaan lainnya

Ø  x = 2y + 5 disubtitusikan ke persamaan 4x + y = 2 4x + y                 = 2 4 (2y + 5) + y   = 2 8y + 20 + y       = 2 8y + y                 = 2 – 20 9y                        = -18 y                          = -18/9 y                          = -2

Ø Nilai y = -2 disubtitusikan ke salah satu persamaan, misal ke persamaan: 4x + y          = 2 4x + (-2)     = 2 4x                 = 2 + 2 4x                 = 4 x                   = 4/4 x                   = 1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 1 dan y = -2, sehingga himpunan penyelesaiannya, yaitu  (1, -2).

2) Eliminasi

Merupakan penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel.

Langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu :

a.       Mengeliminasi (menghilangkan) variabel  x dengan menyamakan koefisien variabel x kemudian menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan sehingga variabel x hilang (koefisien x = 0)

4x + y = 2        dikali 1        4x + 1y = 2

x – 2y = 5        dikali 4        4x – 8y = 20 -

                                                    9y = -18

                                                      y = -18/9 = -2

b.      Mengeliminasi variabel  y dengan menyamakan koefisien variabel , kemudian menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan sehingga variabel y hilang (koefisien y = 0).

4x + y = 2        dikali 2        8x + 2y = 4

x – 2y = 5        dikali 1        1x – 2y = 5 +

                                                9x     = 9

                                                  x     = 9/9 = 1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 1 dan y = -2, sehingga himpunan penyelesaiannya, yaitu (1, -2).

3) Grafik
Merupakan penyelesaian SPLDV dengan cara menggambar grafik dari kedua buah atau lebih persamaan kemudian menentukan titik potongnya.
Langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu :

a.       Menentukan titik potong dari persamaan 4x + y = 2

Ø  Titik potong sumbu x (y=0) 4x + y    = 2 4x + 0    = 2 4x           = 2 x             = 2/4 = 1/2

Ø  Titik potong sumbu y (x=0) 4x  + y      = 2 4.0 + y     = 2 0    +  y     = 2            y     = 2

b.      Menentukan titik potong dari persamaan x – 2y = 5

Ø  Titik potong sumbu x (y=0) x  –  2y     = 5 x  – 2.0    = 5 x  –  0       = 5 x                = 5

Ø  Titik potong sumbu y (x=0) x  –  2y     = 5 0  –  2y     = 5      – 2y     = 5            y     = 5/-2 = -5/2

c.       Menggambar grafik kedua persamaan tersebut, kemudian menentukan titik potongnya

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah   (1, -2)

Sehingga diperoleh x = 1 dan y = -2

C.    Penggunaan SPLDV dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh :

Diketahui harga 3 buku tulis dan 2 pulpen adalah Rp 11.500,- sedangkan harga 2 buku tulis dan 5 pulpen adalah Rp. 15.000,-. Hitunglah :

1) Harga masing-masing

2) Harga 5 buku tulis dan 7 pulpen

Jawab :

Misal       :  Harga 1 buah buku tulis = x

                   Harga 1 buah pulpen     = y

Sehingga :  Harga 3 buku tulis dan 2 pulpen dinyatakan dengan 3x + 2y = 11.500

                   Harga 2 buku tulis dan 5 pulpen dinyatakan dengan 2x + 5y = 15.000

Model matematikanya yaitu 3x + 2y = 11.500 dan 2x + 5y = 15.000 

1) Harga masing-masing

Ø  Mengeliminasi variabel x

3x + 2y = 11.500       dikali 2        6x +   4y   =  23.000

2x + 5y = 15.000       dikali 3        6x + 15y   =  45.000 –

                                                                    -11y   = -22.000

                                                                          y  = -22.000 / -11 = 2.000

Ø  Subtitusikan nilai y = 2.000 ke salah satu persamaan, misal ke persamaan :

2x + 5y                = 15.000

2x + 5.(2.000)   = 15.000

2x + 10.000       = 15.000

2x                         = 15.000 – 10.000

2x                         = 5.000

x                           = 5.000/2 = 2.500

Jadi, harga 1 buah buku tulis adalah Rp. 2.000,- sedangkan harga 1 buah pulpen adalah Rp. 2.500,-

2) Harga 5 buku tulis dan 7 pulpen = (5 x 2.500) + (7 x 2.000)

                                                               = 12.500 + 14.000

                                                               = Rp. 26.500,-

Jadi, harga 5 buku tulis dan 7 pulpen adalah Rp. 26.500,-.

LATIHAN :

1.    Diketahui sistem persamaan: 3x + 2y = 8 dan x – 5y = −37. Hitunglah:

a.    Nilai x dan y

b.    Nilai 6x + 4y

2.   Harga 8 buah pensil dan 6 buah penghapus Rp. 14.400,- sedangkan harga 6 buah pensil dan 5 buah penghapus Rp. 11.200,-. Hitunglah :

a.       Harga masing-masing pensil dan penghapus

b.      Jumlah harga 5 buah pensil dan 8 buah penghapus

Silahkan Download Materi SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) berikut:
Download SPLDV